TRIGONOMETRI KULIAH

                                                                          

TRIGONOMETRI

Untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Trigonometri

Dosen Pembimbing: Dewi Asmarani, M.Pd

 

Ready Mufidatun Ni’mah

NIM. 2814123129

PROGRAM STUDI TADRIS MATEMATIKA

JURUSAN TARBIYAH

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI

(STAIN) TULUNGAGUNG

DESEMBER 2012

1.        UKURAN RADIAN

Ukuran radian menyatakkan perbandingan panjang busur didepan sudut dengan jari-jarinya.

1 radian : ukuran sudut pusat lingkaran yang panjang busur didepannya panjangnya sama dengan panjang jari-jarinya atau jika panjang busur sama dengan jari-jarinya.

Gambar 1 radian:

RumusRadian :

 

2.        HUBUNGAN DERAJAT dengan RADIAN

3.        PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

 

                                                                          

                                                                          

                

4.        PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SUDUT ISTIMEWA

Sudut Istimewa adalah perbandingan trigonometri  yang dapat ditentukan tanpa menggunakan tabel.

a.       Sudut 0^o dan 90^o

                                                                          

Sudut 0^o

Jika𝛼= 0^o, maka y=0, dan r=x. Sehingga diperoleh:

 

                                                                          

Sudut 90^o

Jika 𝛼=90⁰, maka y=r dan x=0. Sehingga diperoleh

b.      Sudut 30^odan 60^o

 

                                                                          

 

c.       Sudut 45^o

                                                                          

5.        PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI SEMUA KUADRAN

                                                                          

                                                                          

Untuk mempermudah penghafalan (+) atau (-) nya dapat menggunakan jembatan keledai (yang (+) nya):

SEMUA SINDIKAT TANGANNYA KOSONG

a.       Kuadran I

                                                                          

 

b.      Kuadran II

 

c.       Kuadran III

 

d.      Kuadran IV

 

6.        PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT RELASI

{  0^o <𝛼<90^o (sudut𝛼)

 

{  0^o<𝛼<90^o (sudut 90^o-𝛼)

 

{  90^o<𝛼<180^o (sudut 90^o+𝛼)

 

{  90^o<𝛼<180^o (sudut 180^o-𝛼)

 

{  180^o<𝛼<270^o (sudut 180^o+𝛼)

{  180^o<𝛼<270^o (sudut 270^o-𝛼)

                                    

{  270^o<𝛼<360^o (sudut 270^o+𝛼)

                                                                          

n. 360° + α

Sin  ( n. 360° + α ) =  sin α coos ( n. 360°+α )  = cosα Tan ( n. 360° + α )  = tan α cosec (n. 360° + α ) = cosec α sec ( n. 360° + α )     = sec α cot ( n. 360° + α )    = cot α

{  Sudut (n.360^o+𝛼)

 

{  SudutNegatif (-𝛼) atau n.360-α

7.        GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

{  Grafik fungsi y = sin x

{  Grafik fungsi y = cos x

{  Grafik fungsi y = tan x

{  Grafik fungsi y = cosec x

{  Grafik fungsi y = sec x

{  Grafik fungsi y = cotan x

8.         RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

a. Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, yaitu mengikuti kaidah-kaidah tertentu yang dirangkum dalam rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut berikut.

{  Rumus untuk           

Ø 

                                                                          

                                                                          

                                                                          

                                                                                                                                                     

                                               

Sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan, sehingga titik A mempunyai koordinat (1,0).

Misalkan ∠AOB = α dan ∠BOC =β, maka: ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = α+β.

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik diperoleh:

·         Jarak titik A(1,0) dan C(cos (α+β), sin (α+β)) adalah

 

                    

·   Jarak titik adalah

 

Karena AC² = BD², maka diperoleh hubungan:

 

Jadi

Ø   Cos (α-β)

     Rumus untuk Cos (α-β) dapat diperoleh dari rumus cos (α+β) dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (-β),

dengan catatan

 

Jadi

{  Rumusuntuk sin (α±β)

Ø   sin (α+β)

    Rumus sin (α+β) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus-rumus yang pernah dipelajari sebelumnya, yaitu:

a)      Rumus sudut berelasi

                                                                           (i).           

                                                                         (ii).           

b)      Rumus

Berdasarkan rumus a) bagian (ii), diperoleh hubungan sebagai berikut:

 

Jadi

Ø  sin (α-β)

       Rumus untuk sin (α-β) dapat diperoleh dari rumus sin (α+β) dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (-β), sehingga rumus untuk sin (α-β) adalah:

                                                              

{  Rumus untuk tan (α±β)

Ø  tan (α+β)

Berdasarkan rumus perbandingan

 

Ø  tan (α-β)

                        Rumus untuk tan (α-β) dapat diperoleh dari rumus tan (α+β) dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (-β), dengan catatan, sehingga diperoleh rumus untuk tan (α-β) yaitu:

 

b. Sudut Rangkap

{ Rumus untuk sin 2α

       Dengan menggunakan rumus untuk sin(α+β) dan mengganti sudut β dengan α atau subtitusi β=α, sehingga diperoleh rumus:

Jadi

{ Rumus untuk cos 2α

       Dengan menggunakan rumus untuk cos(α+β) dan mengganti sudut β dengan α atau subtitusi β=α, sehingga diperoleh rumus:

                                                                  

Jadi rumus untuk cos 2α adalah:

{ Rumus untuk tan 2α

       Dengan menggunakan rumus untuk tan(α+β) dan mengganti sudut β dengan α atau subtitusi β=α, sehingga diperoleh rumus:

Jadi rumus untuk tan 2α adalah

{ Rumus untuk

       Dengan menggunakan rumus untuk cos 2α yaitu

Dan mengganti sudut α denganatau subtitusi α=, sehingga diperoleh rumus

{ Rumus untuk

       Dengan menggunakan rumus untuk cos 2α, dengan cara yang sama untuk memperoleh rumus. Maka diperoleh rumus

{ Rumus untuk

       Dengan mensubtitusikan rumusdan rumus yang telah diperoleh sebelumnya pada, diperoleh rumusyaitu

Rumusdapat diubah dalam bentuk lain dengan cara mengubah bagian pembilang atau penyebut sebagaiberikut:

atau

c. Perkalian Sinus dan Kosinus

{ Rumus-rumus untuk

Ø  Rumus untuk

                        Dengan menggunakan rumus untuk sin (α±β) dan menjumlahkannya maka diperoleh:

                                                                          

                           Jadi

Ø  Rumus untuk

Dengan menggunakan rumus untuk sin (α±β) dan mengurangkannya maka diperoleh:

Jadi

{ Rumus-rumus untuk

Ø  Rumus untuk

Dengan menggunakan rumuscos (α±β) dan menjumlahkannya maka diperoleh:

Jadi

Ø  Rumus untuk

Dengan menggunakan rumus cos (α±β) dan mengurangkannya maka diperoleh:

       Jadi

d. Jumlah dan Selisih Pada Sinus dan Kosinus

 

9.        KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS

{ Koordinat Kutub       

            Suatu titik A dapat dinyatakan Sebagai pasangan berurut A(r,α)

r  =jarak titik A terhadap titik asal  O(0,0) α  =besar sudut antara sumbu X(X positif) terhadap garis OA

           

                                                                                                                 Ingat Kuadran!!!!

 

                                                                          

{  Koordinat kartesius

Koordinat Kartesius adalah system penentuan letak suatu titik berdasarkan letak titik itu terhadap sumbu x dan sumbu y. Suatu titik A dapat dinyatakan sebagai pasangan berurut A(x,y)

		x  =jarak titik A terhadap sumbu –Y y  =jarak titik A terhadap sumbu -X

 

{  HubunganKoordinatKartesiusdanKoordinatKutub

 

                                                                          

10.     PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian.

Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.

{  Menyelesaikan persamaan sin x= sin a

Dengan mengingat rumus

sin (180° - a) = sin a dan sin (a + k. 360°) = sin a, maka diperoleh:

Jika sin x= sin amaka x=a + k. 360°ataux= (180°-a) + k. 360° , kÎ B

 

{  Menyelesaikan persamaan cos x =cos a

Dengan mengingat rumus

Jikacosx=cosamaka x=a + k. 360°ataux=-a + k. 360°, kÎ B

dan cos (a + k. 360°) =cosa, diperoleh

{  Menyelesaikan persamaan tan x= tan a

Dengan mengingat rumus

tan (180° + a) = tan a dan tan (a + k. 360°) = tan a, maka diperoleh:

	Jika tan x= tan amaka x=a + k. 180°,  kÎ B

 

{  Menyelesaikan persamaan trigonometri f(x) = g(x)

Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri yang berbentuk f(x) = g(x), persamaan tersebut diubah kebentuk h(x)=0, dengan h(x)=f(x)-g(x)

11.    ATURAN SINUS DAN KOSINUS

Unsur-unsur suatu segitiga terdiri atas 3 ruas garis sebagai sisi segitiga dan 3 sudut yang masing-masing dibentuk oleh sepasang-sepasang sisi-sisi segitiga.

                                                                          

 

Pada gambar diatas sisi-sisi segitiga adalah AB=c, BC=a, dan AC=b. Sudut-sudut segitiga adalah ∠A=α, ∠B=β, dan ∠C=γ

{  Aturan Sinus

Pada gambar disamping  sisi-sisi segitiga adalah AB=c, BC=a, dan AC=b. Sudut-sudut segitiga adalah ∠A=α, ∠B=β, dan ∠C=γ. Sementara CE dan BD adalah garis tinggi rABC

Pada ABC diketahui , diperoleh CE=AC . sin A= b . sin A    (1)

Pada BEC diketahui , diperoleh CE=CB . sin B= a . sin B      (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh kesamaan sebagai berikut:

b . sin A = a . sin B                        ( masing-masing dibagi dengan sin A. sin B)

                                                     ……(3)         

Pada ADB berlaku , diperoleh BD=AB . sin A= c . sin A       (4)

Pada BEC diketahui , diperoleh BD=BC . sin C= a . sin C     (5)

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh kesamaan sebagai berikut:

c . sin A = a . sin C                          ( masing-masing dibagi dengan sin A. sin C)

                     

                      ….(6)

Dari persamaan (3) dan (6) maka diperoleh aturan sinus sebagai berikut:

 

{  Aturan Cosinus

Apabila diketahui dua buah sisi dan satu buah sudut yang diapit maka panjang sisi yang lain dapat dihitung dengan cara sebagai berikut. Pada gambar △ABC disamping, CD adalah garris tinggi.                                           

Dengan menggunakan dasar Teorema Phytagoras dari △BDC diperoleh:

Jadi diperoleh

Dengan menggunakan dasar Teorema Phytagoras dari △ADC diperoleh:

Jadi diperoleh                                              

Dengan menggunakan dasar Teorema Phytagoras dari △ADC diperoleh:

Jadi diperoleh

12.    IDENTITAS TRIGONOMETRI

Suatu bentuk kesamaan trigonometri disebut identitas trigonometri apabila berlaku untuk sembarang besar sudut yang diberikan. Salah satu identitas trigonometri adalah: sin (90-α) = cos α dan cos (90-α) = sin α

13.    LUAS SEGITIGA

Rumus umum untuk mencari luas segitiga adalah:

Dari gambar △ABC di atas, alas = AB dan tinggi = CD. Panjang CD dicari dengan langkah berikut.

{  Diketahui dua sisi dan satu sudut

△ACD adalah segitiga siku-siku, sehingga diperoleh: .

Dengan cara yang sama untuk menghitung luas △ABC bila panjang dua sisi dan besar salah satu sudut yang diapit kedua sisi tersebut diketahui akan diperoleh rumus-rumus sebagai berikut:

{  Diketahui dua sudut dan satu sudut

{  Diketahui ketiga sisinya

 

Dengan:

{  Diketahui jari-jari lingkaran luarnya