TRIGONOMETRI
Untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Trigonometri
Dosen Pembimbing: Dewi Asmarani, M.Pd
Ready
Mufidatun Ni’mah
NIM. 2814123129
PROGRAM
STUDI TADRIS MATEMATIKA
JURUSAN
TARBIYAH
SEKOLAH
TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI
(STAIN)
TULUNGAGUNG
DESEMBER
2012
1.
UKURAN RADIAN
Ukuran radian menyatakkan perbandingan panjang busur didepan sudut
dengan jari-jarinya.
1 radian : ukuran sudut pusat lingkaran yang panjang busur didepannya
panjangnya sama dengan panjang jari-jarinya atau jika panjang busur sama dengan
jari-jarinya.
Gambar 1 radian:
RumusRadian
:
2.
HUBUNGAN DERAJAT dengan RADIAN
3.
PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
4.
PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI PADA SUDUT ISTIMEWA
Sudut Istimewa adalah perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan tanpa menggunakan tabel.
a. Sudut 0o dan 90o
Sudut
0o
Jika𝛼= 0o,
maka y=0, dan r=x. Sehingga diperoleh:
Sudut
90o
Jika
𝛼=90
0,
maka y=r dan x=0. Sehingga diperoleh
b.
Sudut
30
odan 60
o
c.
Sudut
45
o
5.
PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI DI SEMUA KUADRAN
Untuk mempermudah penghafalan (+) atau (-) nya dapat menggunakan
jembatan keledai (yang (+) nya):
SEMUA SINDIKAT
TANGANNYA KOSONG
a.
Kuadran I
b.
Kuadran II
c.
Kuadran
III
d.
Kuadran IV
6.
PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI SUDUT RELASI
{
0o <𝛼<90o (sudut𝛼)
{ 0o<𝛼<90o
(sudut 90o-𝛼)
{ 90o<𝛼<180o
(sudut 90o+𝛼)
{
90
o<
𝛼<180
o
(sudut 180
o-
𝛼)
{
180
o<
𝛼<270
o
(sudut 180
o+
𝛼)
{ 
180
o<
𝛼<270
o
(sudut 270
o-
𝛼)
{ 
270
o<
𝛼<360
o
(sudut 270
o+
𝛼)
|
n.
360° + α
|
|
Sin ( n. 360° + α ) = sin α
|
|
coos ( n.
360°+α ) = cosα
|
|
Tan ( n.
360° + α ) = tan α
|
|
cosec (n.
360° + α ) = cosec α
|
|
sec ( n.
360° + α ) = sec α
|
|
cot ( n.
360° + α ) = cot α
|
|
{ Sudut (n.360o+𝛼)
{
SudutNegatif
(-
𝛼) atau
n.360-α
7.
GRAFIK FUNGSI
TRIGONOMETRI
{
Grafik fungsi y = sin x
{
Grafik fungsi y = cos x
{
Grafik fungsi y = tan x
{
Grafik fungsi y = cosec x
{
Grafik fungsi y = sec x
{
Grafik fungsi y = cotan x
8.
RUMUS-RUMUS
TRIGONOMETRI
a. Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, yaitu
mengikuti kaidah-kaidah tertentu yang
dirangkum dalam rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut berikut.
{
Rumus untuk
Ø
Sebuah
lingkaran dengan jari-jari 1 satuan, sehingga titik A mempunyai koordinat
(1,0).
Misalkan
∠AOB = α dan ∠BOC =β, maka: ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = α+β.
Dengan
menggunakan rumus jarak antara dua titik diperoleh:
·
Jarak titik A(1,0) dan
C(cos (α+β), sin (α+β)) adalah
·
Jarak titik adalah
Karena AC2 =
BD2, maka diperoleh hubungan:
Jadi
Ø
Cos (α-β)
Rumus
untuk Cos (α-β) dapat diperoleh dari rumus cos (α+β) dengan cara mengganti sudut
β dengan sudut (-β),
dengan catatan
Jadi
{ Rumusuntuk sin (α±β)
Ø
sin (α+β)
Rumus sin (α+β) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus-rumus
yang pernah dipelajari sebelumnya, yaitu:
a)
Rumus sudut berelasi
(i).
(ii).
b)
Rumus
Berdasarkan rumus a) bagian (ii), diperoleh hubungan sebagai berikut:
Jadi
Ø sin (α-β)
Rumus untuk sin (α-β) dapat diperoleh dari rumus sin (α+β)
dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (-β), sehingga rumus untuk sin (α-β)
adalah:
{ Rumus untuk tan (α±β)
Ø 
tan (α+β)
Berdasarkan rumus perbandingan
Ø tan (α-β)
Rumus untuk tan (α-β) dapat diperoleh dari rumus
tan (α+β) dengan cara mengganti sudut β dengan sudut (-β), dengan catatan
, sehingga diperoleh rumus untuk tan (α-β) yaitu:
b.
Sudut Rangkap
{ Rumus untuk sin 2α
Dengan
menggunakan rumus untuk sin(α+β) dan mengganti sudut β dengan α atau subtitusi
β=α, sehingga diperoleh rumus:
Jadi
{ Rumus untuk cos 2α
Dengan
menggunakan rumus untuk cos(α+β) dan mengganti sudut β dengan α atau subtitusi
β=α, sehingga diperoleh rumus:
Jadi rumus untuk cos 2α adalah:
{ Rumus untuk tan 2α
Dengan
menggunakan rumus untuk tan(α+β) dan mengganti sudut β dengan α atau subtitusi
β=α, sehingga diperoleh rumus:
Jadi rumus untuk tan 2α adalah
{ Rumus untuk
Dengan menggunakan rumus untuk cos 2α yaitu
Dan mengganti sudut α
dengan
atau subtitusi α=
, sehingga diperoleh rumus
{ Rumus untuk
Dengan menggunakan rumus untuk cos 2α, dengan cara yang sama untuk
memperoleh rumus
. Maka diperoleh rumus
{ Rumus untuk
Dengan mensubtitusikan rumus
dan rumus
yang telah diperoleh
sebelumnya pada
, diperoleh rumus
yaitu
Rumus
dapat diubah dalam bentuk lain dengan cara mengubah bagian
pembilang atau penyebut sebagaiberikut:
atau
c.
Perkalian Sinus dan Kosinus
{ Rumus-rumus untuk
Ø Rumus untuk
Dengan menggunakan rumus
untuk sin (α±β) dan menjumlahkannya maka diperoleh:
Jadi
Ø
Rumus untuk
Dengan
menggunakan rumus untuk sin (α±β) dan mengurangkannya maka diperoleh:
Jadi
{
Rumus-rumus untuk
Ø
Rumus untuk
Dengan
menggunakan rumuscos (α±β) dan menjumlahkannya maka diperoleh:
Jadi
Ø
Rumus untuk
Dengan
menggunakan rumus cos (α±β) dan mengurangkannya maka diperoleh:
Jadi
d.
Jumlah dan Selisih Pada Sinus dan Kosinus
9.
KOORDINAT KUTUB DAN
KOORDINAT KARTESIUS
{
Koordinat Kutub
Suatu titik A dapat dinyatakan Sebagai
pasangan berurut A(r,α)
r =jarak titik A terhadap titik asal O(0,0)
α =besar sudut antara sumbu X(X positif)
terhadap garis OA
|
|
Ingat
Kuadran!!!!
{
Koordinat kartesius
Koordinat
Kartesius adalah system penentuan letak suatu titik berdasarkan letak titik itu
terhadap sumbu x dan sumbu y. Suatu titik A dapat dinyatakan sebagai pasangan berurut
A(x,y)
|
|
|
|
|
|
x =jarak titik A terhadap sumbu –Y
y =jarak titik A terhadap sumbu -X
|
|
|
|
 |
{
HubunganKoordinatKartesiusdanKoordinatKutub
10. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan
trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian.
Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga
jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.
{
Menyelesaikan persamaan sin
x= sin a
Dengan
mengingat rumus
sin
(180°
- a)
=
sin a
dan sin (a
+ k. 360°) = sin a,
maka diperoleh:
Jika sin x=
sin amaka
x=a
+ k. 360°ataux= (180°-a)
+ k. 360° , kÎ B
|
|
{
Menyelesaikan persamaan cos
x =cos a
Dengan mengingat rumus
Jikacosx=cosamaka
x=a
+ k. 360°ataux=-a
+ k. 360°, kÎ
B
|
|
dan cos (
a +
k. 360
°)
=cos
a,
diperoleh
{
Menyelesaikan persamaan tan
x= tan a
Dengan
mengingat rumus
tan (180° + a) = tan a dan tan (a + k. 360°) = tan a, maka
diperoleh:
|
|
Jika tan x=
tan amaka
x=a
+ k. 180°, kÎ
B
|
|
{ Menyelesaikan persamaan trigonometri f(x) = g(x)
Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri yang berbentuk f(x) =
g(x), persamaan tersebut diubah kebentuk h(x)=0, dengan h(x)=f(x)-g(x)
11.
ATURAN SINUS DAN KOSINUS
Unsur-unsur suatu
segitiga terdiri atas 3 ruas garis sebagai sisi segitiga dan 3 sudut yang
masing-masing dibentuk oleh sepasang-sepasang sisi-sisi segitiga.
Pada gambar diatas sisi-sisi segitiga adalah AB=c, BC=a,
dan AC=b. Sudut-sudut segitiga adalah ∠A=α,
∠B=β, dan ∠C=γ
{
Aturan
Sinus
Pada
gambar disamping sisi-sisi segitiga
adalah AB=c, BC=a, dan AC=b. Sudut-sudut segitiga adalah ∠A=α, ∠B=β, dan ∠C=γ.
Sementara CE dan BD adalah garis tinggi rABC
Pada
ABC diketahui
, diperoleh CE=AC . sin A= b . sin A
(1)
Pada
BEC diketahui
, diperoleh CE=CB . sin B= a . sin B
(2)
Dari
persamaan (1) dan (2) diperoleh kesamaan sebagai berikut:
b
. sin A = a . sin B (
masing-masing dibagi dengan sin A. sin B)
……(3)
Pada
ADB berlaku
, diperoleh BD=AB . sin A= c . sin A
(4)
Pada
BEC diketahui
, diperoleh BD=BC . sin C= a . sin C
(5)
Dari
persamaan (4) dan (5) diperoleh kesamaan sebagai berikut:
c
. sin A = a . sin C (
masing-masing dibagi dengan sin A. sin C)
….(6)
Dari persamaan (3) dan (6) maka
diperoleh aturan sinus sebagai berikut:
{
Aturan
Cosinus
Apabila diketahui dua buah sisi dan satu buah sudut yang
diapit maka panjang sisi yang lain dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.
Pada gambar △ABC
disamping, CD adalah garris tinggi.
Dengan
menggunakan dasar Teorema Phytagoras dari △BDC
diperoleh:
Jadi diperoleh
Dengan
menggunakan dasar Teorema Phytagoras dari △ADC
diperoleh:
Jadi diperoleh
Dengan
menggunakan dasar Teorema Phytagoras dari △ADC
diperoleh:
Jadi
diperoleh
12.
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Suatu
bentuk kesamaan trigonometri disebut identitas trigonometri apabila berlaku
untuk sembarang besar sudut yang diberikan. Salah satu identitas trigonometri
adalah: sin (90-α) =
cos α dan cos (90-α) = sin α
13. LUAS SEGITIGA
Rumus
umum untuk mencari luas segitiga adalah:
Dari gambar △ABC
di atas, alas = AB dan tinggi = CD. Panjang CD dicari dengan langkah berikut.
{
Diketahui dua sisi dan satu
sudut
△ACD
adalah segitiga siku-siku, sehingga diperoleh:
.
Dengan cara yang sama untuk menghitung
luas
△ABC bila panjang
dua sisi dan besar salah satu sudut yang diapit kedua sisi tersebut diketahui
akan diperoleh rumus-rumus sebagai berikut:
{
Diketahui dua sudut dan satu sudut
{ 
Diketahui ketiga sisinya
Dengan:
{ Diketahui jari-jari lingkaran luarnya
